L'insegnamento ha lo scopo di fornire conoscenze di base su funzioni di variabile complessa, analisi di Fourier, trasformate funzionali, nonché di introdurre gli studenti alla modellizzazione e alla soluzione di semplici problemi di interesse applicativo che fanno uso degli strumenti matematici sviluppati.
D1 - Conoscenza e capacità di comprensione
Lo studente, al termine del corso, dovrà conoscere i risultati fondamentali sulle funzioni di variabile complessa, l’analisi di Fourier, le trasformate funzionali.
D2 - Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Lo studente dovrà essere in grado di affrontare e risolvere semplici esercizi, quesiti, problemi, di carattere teorico e di calcolo, relativi agli argomenti trattati nel corso.
D3 - Autonomia di giudizio
Lo studente dovrà essere in grado di descrivere, modellizzare e risolvere autonomamente semplici problemi di interesse applicativo, facendo uso degli strumenti matematici sviluppati nel corso.
D4 - Abilità comunicative
Lo studente dovrà essere in grado di descrivere con un’adeguata proprietà di linguaggio argomenti di carattere matematico e tradurre in termini matematici questioni di carattere applicativo.
D5 - Capacità di apprendimento
Lo studente dovrà essere in grado di leggere e comprendere libri e articoli che utilizzano gli strumenti matematici appresi nel corso ed essere in grado di apprenderne di più avanzati.

Numeri complessi. Algebra lineare. Calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili. Serie numeriche e di funzioni. Equazioni differenziali ordinarie.

L’insieme C dei numeri complessi: la struttura algebrica e la struttura metrica, forma cartesiana e forma polare di un numero complesso, formule di De Moivre.

Funzioni complesse di variabile complessa: funzioni continue, derivabili, olomorfe, condizioni di monogeneità; serie di potenze, funzioni esponenziali, circolari, iperboliche e loro proprietà; la radice ennesima e il logaritmo.

Elementi di analisi complessa: curve parametriche in C, integrale su una curva di una funzione complessa, il Teorema di Cauchy e le formule integrali di Cauchy per una funzione; principali teoremi dell'analisi complessa; funzioni analitiche; proprietà degli insiemi degli zeri di una funzione analitica; classificazione delle singolarità di una funzione e residuo di una funzione in un punto singolare isolato; serie bilatere e il teorema di Laurent; il teorema dei residui; calcolo di integrali con il metodo dei residui.

Elementi di teoria dell’integrazione secondo Lebesgue: definizione di integrale secondo Lebesgue, teorema della convergenza dominata, teorema di Fubini-Tonelli, integrali dipendenti da parametri.

Elementi di analisi funzionale: spazi di Banach e di Hilbert, sistemi ortogonali, teorema di migliore approssimazione, spazi di Lebesgue e relative proprietà, convoluzione e relative proprietà.

Serie di Fourier e applicazioni: polinomi e serie di di Fourier, disuguaglianza di Bessel e identità di Parseval, convergenza in L^2, puntuale e uniforme delle serie di Fourier, derivazione e integrazione a termine a termine, regolarità di una funzione e ordine di infinitesimo dei suoi coefficienti di Fourier, applicazioni delle serie di Fourier alla risoluzione delle equazioni del calore e delle onde.

Trasformata di Fourier e applicazioni: trasformata di Fourier in L^1 e sue proprietà, calcolo di trasformate, nuclei regolarizzanti e identità approssimate, antitrasformata di Fourier, teorema di inversione in L^1, trasformata di Fourier in L^2, teorema di Plancherel, applicazione della trasformata di Fourier al problema del campionamento, teorema di Shannon, applicazione della trasformata di Fourier alla risoluzione di alcune classi di equazioni differenziali.

Trasformata di Laplace: definizione e principali proprietà; il problema della trasformata inversa; applicazione delle trasformate ad alcune classi di equazioni e sistemi differenziali, integrali e integro-differenziali.

Cenni alle distribuzioni.

- Dispense procurate dal docente.
- G.C. Barozzi, Matematica per l’ingegneria dell’informazione, Zanichelli, Bologna, 2001.
- G. Gilardi, Analisi tre, McGraw-Hill, Milano, 2003.
- M. Codegone, Metodi matematici per l’Ingegneria, Zanichelli, Bologna, 1995.

L’insieme C dei numeri complessi: la struttura algebrica e la struttura metrica, forma cartesiana e forma polare di un numero complesso, formule di De Moivre.

Funzioni complesse di variabile complessa: funzioni continue, derivabili, olomorfe, condizioni di monogeneità; serie di potenze, funzioni esponenziali, circolari, iperboliche e loro proprietà; la radice ennesima e il logaritmo.

Elementi di analisi complessa: curve parametriche in C, integrale su una curva di una funzione complessa, il Teorema di Cauchy e le formule integrali di Cauchy per una funzione; principali teoremi dell'analisi complessa; funzioni analitiche; proprietà degli insiemi degli zeri di una funzione analitica; classificazione delle singolarità di una funzione e residuo di una funzione in un punto singolare isolato; serie bilatere e il teorema di Laurent; il teorema dei residui; calcolo di integrali con il metodo dei residui.

Elementi di teoria dell’integrazione secondo Lebesgue: definizione di integrale secondo Lebesgue, teorema della convergenza dominata, teorema di Fubini-Tonelli, integrali dipendenti da parametri.

Elementi di analisi funzionale: spazi di Banach e di Hilbert, sistemi ortogonali, teorema di migliore approssimazione, spazi di Lebesgue e relative proprietà, convoluzione e relative proprietà.

Serie di Fourier e applicazioni: polinomi e serie di di Fourier, disuguaglianza di Bessel e identità di Parseval, convergenza in L^2, puntuale e uniforme delle serie di Fourier, derivazione e integrazione a termine a termine, regolarità di una funzione e ordine di infinitesimo dei suoi coefficienti di Fourier, applicazioni delle serie di Fourier alla risoluzione delle equazioni del calore e delle onde.

Trasformata di Fourier e applicazioni: trasformata di Fourier in L^1 e sue proprietà, calcolo di trasformate, nuclei regolarizzanti e identità approssimate, antitrasformata di Fourier, teorema di inversione in L^1, trasformata di Fourier in L^2, teorema di Plancherel, applicazione della trasformata di Fourier al problema del campionamento, teorema di Shannon, applicazione della trasformata di Fourier alla risoluzione di alcune classi di equazioni differenziali.

Trasformate di Laplace: definizione e principali proprietà; il problema della trasformata inversa; applicazione delle trasformate ad alcune classi di equazioni e sistemi differenziali, integrali e integro-differenziali.

Cenni alle distribuzioni.


Il programma dettagliato è disponibile presso: http://www.dmi.units.it/~obersnel/#insegnamentie in Moodle http://moodle2.units.it;

Lezioni ed esercitazioni frontali. Esercizi da svolgere a casa disponibili sul sito.

Per ulteriori informazioni consultare:
http://www.dmi.units.it/~obersnel/#insegnamenti.
Alcune informazioni e materiali didattici sono disponibili sul sito Moodle del corso.

L'esame consiste di una prova scritta (di due ore) e di una prova orale, riguardanti gli aspetti pratici (esercizi) e teorici (definizioni, enunciati, dimostrazioni) del corso. Si accede alla prova orale solo dopo aver superato la prova scritta.