Introdurre lo studente all'analisi numerica, cioè allo sviluppo e all'analisi dei metodi utilizzati per risolvere i problemi posti dalla matematica del continuo.

Conoscenza e capacità di comprensione: comprendere i principi fondamentali dell'Analisi Numerica come strumento per risolvere i problemi posti dalla matematica del continuo; comprendere in quale
maniera sono sviluppati i metodi numerici e in quale maniera essi sono analizzati.

Conoscenza e capacità di comprensione applicate: essere in grado di applicare i metodi numerici a problemi concreti anche con implementazioni in qualche linguaggio di programmazione.

Autonomia di giudizio: essere in grado di riconoscere i punti di forza e criticità dei metodi numerici.

Abilità comunicative: saper esporre la risoluzione di un problema della matematica del continuo tramite un metodo numerico.

Capacità di apprendere: saper raccogliere informazioni da materiale in rete o libri di testo al fine di risolvere un problema della matematica del continuo.

Analisi I, Geometria e calcolo differenziale in più variabili. Propedeudicità: Analisi I e Geometria.

Il corso introduce all'analisi numerica, e quindi allo studio dei metodi che permettono di risolvere, con l'ausilio del calcolatore, problemi matematici di interesse nellle scienze applicate in generale e nell’ingegneria in particolare.

1. Rappresentazione dei numeri al calcolatore e aritmetica floating point.

Rappresentazione floating point dei numeri reali. Errori di troncamento e di arrotondamento. Precisione di macchina. Aritmetica floating point.
Propagazione degli errori nelle operazioni aritmetiche con numeri approssimati.
Condizionamento di un problema e stabilità dell'algoritmo risolutivo.

2. Soluzione numerica di equazioni non lineari.

Introduzione al problema degli zeri. Intervalli di localizzazione di uno zero. Il metodo di bisezione. Il metodo di Newton. Il metodo di Newton per i sistemi.

3. Interpolazione di funzioni e dati.

Il problema di interpolazione di Lagrange. La forma di Lagrange del polinomio di interpolazione. Interpolazione di una funzione. Aumentare il numero dei nodi di interpolazione. Interpolazione a tratti.

4. Quadratura.
Formule di quadratura interpolatorie. Formule di quadratura generali. Formule di quadratura di Newton-Cotes. Ordine polinomiale (grado di precisione) ed errore delle formule di quadratura. Formule di quadratura composte.

5. Elementi di algebra lineare numerica.

Norme in R^n. Norme di matrice. Norma di operatore o norma indotta. Norme p di matrice.
Matrici ortogonali, matrici simmetriche, diagonalizzazione con trasformazione ortogonale, forme quadratiche, matrici simmetriche semidefinite e definite positive, le matrici A^TA e AA^T, la SVD di una matrice, approssimazione con matrici di rango inferiore, SVD e compressione dei dati.

Dispense fornite dal docente disponibili sulla piattaforma Moodle.

A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio: Matematica Numerica (4a edizione), Springer Verlag, 2014

A. Quarteroni, F. Saleri, Calcolo Scientifico esercizi e problemi risolti con Matlab e Octave. Springer, 2008.

V. Comincioli, Analisi Numerica Metodi Modelli Applicazioni, McGraw-Hill Libri Italia, 1995.

D. Bini, M. Capovani, O. Menchi: Metodi numerici per l'algebra lineare, Zanichelli, Bologna, 1996.

Il corso introduce all'analisi numerica, e quindi allo studio dei metodi che permettono di risolvere, con l'ausilio del calcolatore, problemi matematici di interesse nellle scienze applicate in generale e nell’ingegneria in particolare.

1. Rappresentazione dei numeri al calcolatore e aritmetica floating point.

Rappresentazione floating point dei numeri reali. Errori di troncamento e di arrotondamento. Precisione di macchina. Aritmetica floating point.
Propagazione degli errori nelle operazioni aritmetiche con numeri approssimati.
Condizionamento di un problema e stabilità dell'algoritmo risolutivo.

2. Soluzione numerica di equazioni non lineari.

Introduzione al problema degli zeri. Intervalli di localizzazione di uno zero. Il metodo di bisezione. Il metodo di Newton. Il metodo di Newton per i sistemi.

3. Interpolazione di funzioni e dati.

Il problema di interpolazione di Lagrange. La forma di Lagrange del polinomio di interpolazione. Interpolazione di una funzione. Aumentare il numero dei nodi di interpolazione. Interpolazione a tratti.

4. Quadratura.
Formule di quadratura interpolatorie. Formule di quadratura generali. Formule di quadratura di Newton-Cotes. Ordine polinomiale (grado di precisione) ed errore delle formule di quadratura. Formule di quadratura composte.

5. Elementi di algebra lineare numerica.

Norme in R^n. Norme di matrice. Norma di operatore o norma indotta. Norme p di matrice.
Matrici ortogonali, matrici simmetriche, diagonalizzazione con trasformazione ortogonale, forme quadratiche, matrici simmetriche semidefinite e definite positive, le matrici A^TA e AA^T, la SVD di una matrice, approssimazione con matrici di rango inferiore, SVD e compressione dei dati.

Il corso è strutturato in lezioni frontali. Alle lezioni frontali in aula in cui vengono presentati i metodi numerici di base per risolvere problemi classici della matematica mediante l'uso di un calcolatore, fanno seguito alcune esercitazioni al calcolatore che descrivono l'implementazione di tali metodi in Matlab e mirano allo sviluppo di un'adeguata sensibilità e consapevolezza del loro utilizzo da parte degli studenti.

La frequenza delle lezioni è fortemente raccomandata sia per l'apprendimento che la preparazione all'esame.

Il materiale didattico (dispense e programmi) verrà messo a disposizione dello studente in formato elettronico e sarà reperibile sulla piattaforma Moodle2.
Per ulteriori approfondimenti si possono consultare i testi suggeriti.

Si rimanda alla pagina Moodle dell'insegnamento per ulteriori informazioni.

Eventuali cambiamenti alle modalità qui descritte, che si rendessero necessari per garantire l'applicazione dei protocolli di sicurezza legati all'emergenza COVID19, saranno comunicati nel sito web di Dipartimento, del Corso di Studio e dell'insegnamento.

L'esame finale consiste in una prova scritta costituta da due esercizi, due domanda di teoria e un test di conoscenza di MATLAB. Gli esercizi, le domande di teoria e il test MATLAB sono valutati ognuno con un punteggio da 0 a 10. Questi punteggi sono sommati ottenendo un punteggio totale da 0 a 50. Il voto finale viene ottenuto come parte intera superiore del punteggio totale moltiplicato per 34/50. Un voto finale di 34 o 33 corrisponde a 30 e lode. Un voto finale di 30, 31 o 32 corrisponde a 30. I docenti si riservano comunque di procedere con un'alteriore prova orale di accertamento qualora ne riscontrino la necessità.

Questo insegnamento approfondisce argomenti strettamente connessi a uno o più obiettivi dell’Agenda 2030 per lo Sviluppo Sostenibile delle Nazioni Unite.