D1: Conoscenze di base in analisi complessa, teoria di Fourier, e spazi di Hilbert; D2: Capacità di applicare le conoscenze al calcolo di integrali, alla soluzione di equazioni differenziali mediante serie di Fourier, alle operazioni di base con operatori su spazi di Hilbert; D3: Capacità di scegliere quale delle tecniche studiate, anche eventualmente con opportune modifiche, si adattino meglio alla risoluzione di problemi in fisica; D4: Capacità di comunicare, per iscritto e/o oralmente, i passaggi logici che portano allo svolgimento di un problema con i metodi studiati; D5:Capacità di consultare manuali per approfondire gli argomenti trattati.

* Analisi matematica 1 e 2;
* Geometria.

1) Funzioni di variabile complessa:
* funzioni analitiche
* teorema di Cauchy
* applicazione al calcolo di integrali
2) Trasformata di Fourier:
* trasformata di Fourier in L^1
* trasformata di Fourier in L^2
* trasformata di distribuzioni temperate
3) Spazi di Hilbert
* sistemi ortonormali completi
* operatori
* cenni sullo spettro

G. Cicogna "Metodi matematici della Fisica", 2015 Springer ;

G. Cicogna "Exercises and Problems in Mathematical Methods of Physics", 2018 Springer ;

M. Petrini, G. Pradisi, A. Zaffaroni "A Guide to Mathematical Methods for Physicists with Problems and Solutions", 2018 World Scientific Publishing Europe ;

"Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering, Science, and Mathematics (3rd Edition)", 2002 Prentice Hall.

1) Funzioni di variabile complessa:

* funzioni analitiche: ripasso su numeri complessi e funzioni analitiche reali, serie di potenze su C, esempi di funzioni su C, nozione di limite su C, derivabilità in senso complesso, definizione di funzione analitica, condizioni di Cauchy-Riemann, serie bilatere come esempi di funzioni analitiche;

* teorema di Cauchy: integrale su cammino per campi vettoriali e per funzioni su C, teorema di Green e applicazioni a deformazioni del cammino, teorema di Cauchy, formula integrale di Cauchy, infinita derivabilità delle funzioni analitiche, serie di Taylor-Laurent, estensione analitica, l'esempio della Gamma di Eulero, tipi di singolarità isolate, teorema di Liouville, teorema fondamentale dell'algebra;

* applicazione al calcolo di integrali: funzioni meromorfe, residuo in una singolarità isolata, formula per residuo a un polo di ordine n, teorema dei residui, applicazione al calcolo di integrali reali, singolarità e residuo all'infinito, teorema esterno dei residui, lemma di Jordan e applicazioni, funzioni a più valori, rami, tagli e punti di diramazione, utilizzo di funzioni a più valori per il calcolo di integrali;

2) Trasformata di Fourier:

* trasformata di Fourier in L^1: introduzione su serie di Fourier, applicazioni, dalla serie alla trasformata, cenni su integrale di Lebesgue, teorema della convergenza dominata, teorema di Fubini-Tonelli, definizione di L^1 e L^2, definizione di trasformata in L^1, proprietà, continuità, limitatezza, convoluzione e prodotto, derivate e moltiplicazione per variabile, teorema di Riemann-Lebesgue, esempi di trasformate in L^1, trasformata della gaussiana;

* trasformata di Fourier in L^2: motivazioni, prodotto scalare su L^2, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, approssimanti in L^1, identità di Parseval per approssimanti in L^1, definizione tramite limite della trasformata su L^2, identità di Parseval, antitrasformata, proprietà della trasformata in L^2, prodotto e convoluzione, derivate e moltiplicazione per variabile, interpretazione della trasformata come decomposizione in armoniche a frequenza fissata, principio di indeterminazione;

* trasformata di distribuzioni temperate: ortogonalità della base di funzioni per la serie di Fourier, generalizzazione al caso della trasformata, nozione di delta di Dirac, definizione di spazio di Schwarz e di distribuzione temperata, limite in senso distribuzionale, operazioni su distribuzioni, derivata, moltiplicazione per polinomio, trasformata di Fourier, esempi di distribuzioni e loro trasformate di Fourier, theta di Heaviside, segno, parte principale di 1/x, delta di Dirac e sue derivate, funzione costante, applicazione alle funzioni di Green per equazioni lineari non omogenee;

3) Spazi di Hilbert

* sistemi ortonormali completi: spazi vettoriali infinito dimensionali, concetto di base, serie di vettori, spazi di Banach e nozione di convergenza, esempi di L^p e l^p, problema della determinazione dei coefficienti nell'espansione, nozione di prodotto scalare e norma indotta, definizione di spazio di Hilbert, sistema indipendente, sistema ortonormale, Gram-Schmidt, sistema ortonormale completo, esempio della serie di Fourier, caratterizzazione dei sistemi ortonormali completi, sistemi completi non ortonormali;

* operatori: operatori lineari in dim infinita, dominio, continuità, estensione per continuità, norma e operatori limitati, equivalenza tra continuità e limitatezza, funzionali lineari, teorema di Riesz, aggiunto di un operatore limitato e sue proprietà, caso più generale di dominio denso, operatore simmetrico e autoaggiunto, operatore unitario, esempio della trasformata di Fourier;

* cenni sullo spettro: autovalori e autovettori in dim infinita, spettro, esempio di derivata e moltiplicazione per x.

Lezioni frontali e esercitazioni.

Verrà utilizzato il Moodle del corso per assegnare esercizi per casa ogni settimana, per raccogliere gli esami degli anni passati, e vi veranno scritti gli argomenti svolti in ciascuna lezione.

L'esame si prefigge di verificare la capacità di risolvere esercizi e problemi con i metodi studiati nel corso. Questo viene verificato con un esame scritto che consta di tre problemi, uno di analisi complessa, uno su trasformata di Fourier, e uno su spazi di Hilbert, da svolgere in 3 ore di tempo. Ciascun esercizio è diviso in punti di varia difficoltà, e a cui è assegnato un punteggio scritto chiaramente nel testo dell'esame. Il punteggio totale è 33. La lode viene ottenuta con un punteggio pieno di 33. L'esame scritto è superato se si raggiunge la sufficienza (18). Lo studente che supera l'esame scritto può scegliere di sostenere anche l'esame orale. L'esame orale è un colloquio della durata di un'ora in cui viene chiesto allo studente di risolvere due esercizi brevi sugli argomenti del corso. All'esame orale viene assegnato un voto in trentesimi e il voto finale è la media aritmetica tra il voto dello scritto e quello dell'orale. Il testo dell'esame e la sua soluzione vengono prontamente pubblicati sul sito Moodle del corso dopo l'esame.