CONOSCENZA E CAPACITA' DI COMPRENSIONE
Al termine del corso lo studente conoscerà alcune moderne metodologie
numeriche nei settori della risoluzione dei sistemi lineari e nonlineari,
della teoria dell'approssimazione e delle equazioni differenziali ordinarie.
CONOSCENZA E CAPACITA' DI COMPRENSIONE APPLICATE
Al termine del corso lo studente saprà utilizzare le metodologie
numeriche studiate per risolvere problemi provenienti dalle applicazioni.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO
Al termine del corso lo studente saprà riconoscere le caratteristiche
fondamentali dei problemi considerati ed avrà la capacità di scegliere
opportunamente i metodi per risolverli.
ABILITA` COMUNICATIVE
Alla fine del corso lo studente saprà esprimersi in modo appropriato nella
descrizione dei metodi numerici studiati, con proprietà di linguaggio e
sicurezza di esposizione.
CAPACITA` DI APPRENDERE
Alla fine del corso lo studente sarà in grado di consultare testi di analisi
numerica di livello medio-alto per integrare le proprie conoscenze.

Conoscenze di base dei vari metodi numerici.
Propedeuticità: Analisi Numerica 1

Risoluzione numerica di sistemi lineari: richiami sui metodi classici diretti
basati sulla fattorizzazione LU; metodi iterativi basati sullo splitting della
matrice dei coefficienti e risultati di convergenze; metodo di Richardson;
metodi di tipo gradiente e metodo del gradiente coniugato; metodi
proiettivi di tipo Krylov; metodi basati sull'algoritmo di Arnoldi e analisi
della convergenza.
Risoluzione numerica di equazioni non lineari: richiami sul caso scalare,
metodo di bisezione, iterazione di punto fisso, metodo di Newton e delle
secanti; ordine di convergenza; ipotesi di lavoro nel caso vettoriale;
iterazione di punto fisso e criteri di convergenza; metodo di Newton;
metodi di tipo Newton; Metodo di Broyden; teoremi di convergenza.
Minimizzazione di funzionali: trasformazione del problema in
un'equazione non lineare; studio dell'applicabilità del metodo di Newton e
delle sue varianti; metodi di discesa; costruzione delle direzioni di
discesa; strategia del line-search; algoritmo del backtraking; risultati di
convergenza.
Teoria dell'approssimazione: definizione di sistema di polinomi ortogonali
e proprietà fondamentali; interpolazione su zeri di polinomi ortogonali;
teorema di Erdos-Turan; esempi di polinomi ortogonali;
Interpolazione mediante funzioni spline cubiche: spline naturali,
periodiche e vincolate agli estremi. Proprietà di minima energia. Calcolo
delle funzioni spline cubiche interpolanti: sistema lineare dei momenti.
Richiami sui metodi Runge-Kutta. Integrazione automatica a passo
variabile: proporzionalità tra tolleranza sull'errore locale ed errore
globale, scelta del passo d'integrazione. Strategie per la stima dell'errore
locale: coppie di metodi di tipo Runge-Kutta-Fehlberg e di tipo DormandPrince

[(1) Y.Saad (2000). Iterative methods for sparse linear systems. Springer]
[(2) J.E.Dennis, R.B. Schnabel (1996). Numerical methods for
unconstrained optimization and nonlinear equations. SIAM]
[(3) V.Comincioli (1995). Analisi numerica. McGraw-Hill]
[(4) appunti dei docenti]

Risoluzione numerica di sistemi lineari: richiami sui metodi classici diretti
basati sulla fattorizzazione LU; metodi iterativi basati sullo splitting della
matrice dei coefficienti e risultati di convergenze; metodo di Richardson;
metodi di tipo gradiente e metodo del gradiente coniugato; metodi
proiettivi di tipo Krylov; metodi basati sull'algoritmo di Arnoldi e analisi
della convergenza.
Risoluzione numerica di equazioni non lineari: richiami sul caso scalare,
metodo di bisezione, iterazione di punto fisso, metodo di Newton e delle
secanti; ordine di convergenza; ipotesi di lavoro nel caso vettoriale;
iterazione di punto fisso e criteri di convergenza; metodo di Newton;
metodi di tipo Newton; Metodo di Broyden; teoremi di convergenza.
Minimizzazione di funzionali: trasformazione del problema in
un'equazione non lineare; studio dell'applicabilità del metodo di Newton e
delle sue varianti; metodi di discesa; costruzione delle direzioni di
discesa; strategia del line-search; algoritmo del backtraking; risultati di
convergenza.
Teoria dell'approssimazione: definizione di sistema di polinomi ortogonali
e proprietà fondamentali; interpolazione su zeri di polinomi ortogonali;
teorema di Erdos-Turan; esempi di polinomi ortogonali;
Interpolazione mediante funzioni spline cubiche: spline naturali,
periodiche e vincolate agli estremi. Proprietà di minima energia. Calcolo
delle funzioni spline cubiche interpolanti: sistema lineare dei momenti.

Lezioni frontali, sia di carattere teorico sia rivolte alla risoluzione di
esercizi, comprendenti anche la stesura e l'esecuzione di relativi
programmi di calcolo.

Durante il corso, al termine di ogni argomento, il docente fornirà agli
studenti copia dei propri appunti/dispense.

Esame orale in cui si verifica la conoscenza da parte degli studenti delle
varie tecniche numeriche insegnate nel corso, nonché la loro capacità di
applicarle opportunamente ai problemi matematici considerati.