D1. Conoscenza e capacità di comprensione.

Al termine del corso lo/a studente/ssa saprà dimostrare di conoscere i risultati fondamentali delle equazioni differenziali, dell’integrale di Riemann per funzioni di più variabili, dell’analisi vettoriale e delle forme differenziali.

D2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione.

Alla fine del corso lo/a stuente/ssa saprà applicare le conoscenze di analisi differenziale e integrale acquisite per risolvere problemi ed esercizi. Gli esercizi potranno essere proposti anche in veste di elementari risultati teorici.

D3. Autonomia di giudizio.

Al termine del corso lo/a studente /ssa saprà riconoscere e applicare le tecniche più elementari delle equazioni differenziali, dell’integrale di Riemann per funzioni di più variabili, dell’analisi vettoriale e delle forme differenziali e saprà altresì riconoscere le situazioni e i problemi in cui tali tecniche possono essere vantaggiosamente utilizzate (semplici modelli dalla fisica e da altre discipline).

D4. Abilità comunicative.

Alla fine del corso lo/a studente/ssa saprà esprimersi in modo appropriato sui temi delle equazioni differenziali, dell’integrale di Riemann per funzioni di più variabili, dell’analisi vettoriale e delle forme differenziali, con proprietà di linguaggio e sicurezza di esposizione.

D5. Capacità di apprendimento

Alla fine del corso lo/a studente/ssa sarà in grado di consultare i manuali standard di equazioni differenziali, dell’integrale di Riemann per funzioni di più variabili, dell’analisi vettoriale e delle forme differenziali.

Calcolo differenziale e integrale in una variabile. Algebra lineare. Spazi metrici.

Equazioni differenziali ordinarie. Integrale di Riemann per funzioni di più variabili. Curve e superfici e loro misura. Integrali di linea e di superfìcie. Analisi vettoriale. Forme differenziali. Formule di Stokes, Gauss e Gauss-Green.

Principali testi di riferimento:

1) E. Giusti, Analisi matematica 2, Bollati-Boringhieri, 2003

2) C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica 2, Zanichelli, 2016

3) G. Catino e F. Punzo, Esercizi svolti di analisi matematica e geometria, volume 2, Esculapio,

4) N. Fusco, P. Marcellini e C. Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, 2020.

Equazioni differenziali ordinarie. Teoremi di esistenza, unicità, prolungabilità delle soluzioni, uscita dal compatto, esistenza globale, dipendenza continua dai dati. Equazioni differenziali a variabili separabili, di Bernoulli, omogenee. Sistemi di equazioni lineari e equazioni differenziali lineari di ordine superiore. Metodo di variazione delle costanti. Esempi applicativi: equazione del pendolo, modelli preda-predatore, ponti sospesi, moto dei pianeti.

Integrale di Riemann per funzioni di più variabili. Caratterizzazione delle funzioni integrabili, teorema di riduzione. Insiemi misurabili e integrazione su insiemi misurabili, integrazione su domini normali. Teorema del cambio di variabili. Coordinate polari, cilindriche e sferiche. Integrazione su domini illimitati. Applicazioni dell'integrale alla fisica: baricentro e momento d'inerzia.

Curve e superfici e loro misura. Integrali di linea e di superfìcie. Analisi vettoriale. Forme differenziali. Integrazione di forme differenziali. Campi vettoriali, rotore, divergenza. Campi conservativi e solenoidali.
Formule di Stokes, Gauss e Gauss-Green.

Lezioni frontali. Esercitazioni in aula.

L'esame finale è volto ad accertare la conoscenza degli argomenti di tutto il programma del corso. Esso è composto da una prova scritta ed una orale. L'esame scritto consiste nello svolgimento di esercizi sugli argomenti trattati durante il corso. La prova orale è finalizzata ad accertare la preparazione teorica dello studente. Nella prova scritta si chiederà di risolvere un certo numero di esercizi simili quelli svolti a lezione e nelle esercitazioni, e assegnati durante il corso. Il punteggio della prova scritta sarà espresso in trentesimi. Il voto complessivo è data dalla somma dei voti assegnati per ogni singolo esercizio. La prova scritta è effettuata con le seguenti modalità: la prova consiste nel risolvere esercizi sugli argomenti del corso. Non sono ammessi appunti, libri, calcolatrici o altri strumenti di calcolo, oggetti dotati di fotocamera o capaci di connettersi in rete. La condizione per l’ammissione alla prova orale è di avere ottenuto un punteggio maggiore o uguale a 15/30. Si noti che la sufficienza è 18/30. Il voto ottenuto allo scritto rimane valido per la sola sessione (per sessione si intende uno dei tre periodi gennaio-febbraio, giugno-luglio, settembre) L'esame scritto può essere ripetuto: la consegna di una prova scritta annulla un'eventuale precedente prova scritta. L'orale avrà lo scopo di verificare la conoscenza teorica della disciplina, le capacità di espressione e la proprietà di linguaggio. Verterà sulla comprensione delle definizioni e degli enunciati dei teoremi discussi a lezione, e potrà includere una discussione dello scritto e delle dimostrazioni di alcuni teoremi. L'orale può essere preceduto da una breve prova scritta di due o tre domande atte ad appurare la preparazione di base a cui seguirà una breve discussione della breve prova scritta per poi passare, se positiva, alla parte orale propriamente detta. Alla fine della prova orale verrà assegnato il voto finale tenendo conto anche del risultato dello scritto. Il voto finale è attribuito mediante un voto espresso in trentesimi. L’esame è superato con un punteggio di 18/30. Per conseguire il punteggio minimo (18/30) è necessaria la conoscenza delle definizioni e dei risultati principali, insieme alla capacità di risolvere esercizi elementari con una discreta padronanza del linguaggio proprio della materia. Per conseguire il punteggio massimo (30/30 e lode), si deve invece dimostrare di aver acquisito una conoscenza eccellente di tutti gli argomenti trattati durante il corso; rispondere correttamente a tutti i quesiti, svolgere correttamente tutti gli esercizi. Per la fruizione di ausili all'esame da parte di studenti con disabilità, disturbi specifici dell'apprendimento (DSA) bisogni educativi speciali (BES), si chiede per favore di rivolgersi preventivamente al Servizio Disabilità o al Servizio DSA di Ateneo.