Conoscenza e capacità di comprensione: lo studente deve dimostrare di avere compreso le nozioni di base della Topologia Generale, dell'omotopia e del gruppo fondamentale. Capacità di applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente dovrà sapere applicare le principali tecniche della topologia, sia per risolvere problemi ed esercizi, sia per elaborare soluzioni di carattere topologico anche in ambiti diversi da quello specifico del corso. Ci si aspetta anche che lo studente sviluppi una buona capacità di intuizione sugli spazi di maggior utilizzo in topologia. Autonomia di giudizio: lo studente deve dimostrare capacità di autovalutazione del livello di conoscenza ed apprendimento degli specifici argomenti previsti dal corso e delle relative applicazioni Abilità comunicative: lo studente deve essere in grado di comunicare, spiegare e presentare i concetti e i teoremi appresi Capacità di apprendere: lo studente deve essere in grado di integrare l’apprendimento degli aspetti della topologia oggetto di studio con i contenuti applicativi e teorici di altri Corsi, inclusi quelli della Laurea Magistrale. Ci si aspetta che lo studente sviluppi una buona autonomia utile anche per affrontare lo studio dei testi di riferimento proposti, con capacità di collegamento tra i vari settori della Matematica.

Conoscenze di base di analisi, algebra lineare e algebra (del primo anno della Laurea triennale). I seguenti insegnamenti sono propedeutici a Geometria 3 per gli studenti di Matematica: Algebra 1 Analisi 1 e 2 Geometria 1 e 2

Topologia generale, omotopia, rivestimenti, gruppo fondamentale.

1) C. Kosniowski, A First Course in Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2009. 2) E. Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, 2019. 3) I. M. Singer e J. A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, Springer-Verlag, 1967. 4) J. R. Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000.

Topologia generale ed algebrica: topologie e spazi topologici, basi, chiusura, interno e frontiera, punti limite, sottospazi, topologia prodotto, applicazioni continue e omeomorfismi, assiomi di separazione (spazi di Hausdorff, spazi regolari e spazi normali), spazi metrici, assiomi di numerabilità, spazi separabili, connessione e connessione per archi, compattezza e compattezza per successioni, compattificazione di Aleksandrov, spazi metrizzabili compatti. Omotopia e omotopia di cammini, equivalenza omotopica, rivestimenti, sollevamento di cammini e di omotopie di cammini, gruppo fondamentale, invarianza omotopica e dipendenza dal punto base, gruppo fondamentale della circonferenza, delle sfere, dei tori e degli spazi proiettivi, retrazioni, teorema di non retrazione e teorema del punto fisso di Brouwer, teorema di Borsuk-Ulam, retrazioni per deformazione. Gruppi liberi e presentazioni di gruppi, teorema di Van Kampen. Calcolo del gruppo fondamentale. Rivestimenti e loro classificazione, il gruppo di automorfismi di un rivestimento, rivestimenti regolari e rivestimento universale.

Lezioni frontali ed esercitazioni È previsto un servizio di tutorato a cui è necessario partecipare attivamente.

Le informazioni sul corso, sugli esami e il materiale didattico sarà messo a disposizione sul sito Moodle di Geometria 3 - Topologia https://moodle2.units.it Gli studenti sono invitati ad iscriversi al Moodle.

Ci saranno sei appelli d'esame (di regola due in gennaio/febbraio, tre in giugno/luglio e uno a settembre). L'esame consiste di una prova scritta di tre ore e di una prova orale, che vertono su teoria, esercizi e problemi. Il voto è espresso in trentesimi (con eventuale lode). Per superare la prova scritta ed essere amessi all'orale occorrono almeno 18 punti. Il voto dell'esame è formulato tenendo conto sia della prova scritta che della prova orale. Il voto finale di Geometria 3 sarà la parte intera superiore della media aritmetica tra i voti dei due moduli di Topologia e di Curve e superfici (il 30 e lode è valutato 31). Per raggiungere la sufficienza (18/30) lo studente deve saper risolvere alcuni esercizi e avere conoscenza delle definizioni, degli enunciati e di qualche semplice dimostrazione oltre che della terminologia propria della materia. Per raggiungere 30/30 lo studente deve dimostrare un'ottima comprensione di tutti gli argomenti del programma, deve svolgere correttamente gli esercizi della prova scritta ottenendo in questa almeno 24/30. La prova orale generalmente inizia con un argomento a piacere tratto dal programma del corso (un teorema a scelta dello studente con dimostrazione), più alcune domande da parte del docente.